Примеры координатных систем

В этом разделе будут рассмотрены приложения общих положений, приведенных выше, на примерах наиболее распространенных криволинейных систем координат.

1. Декартова система является простейшей из всех систем. Положение точки определяется тройкой чисел

. Координатными поверхностями являются плоскости

Рис.37 Декартова система координат

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x=C_1\\ y=C_2\\ z=C_3.\\ \end{array} \right.$

(206)

Координатыми линиями являются прямые, параллельные осям

(рис. 37). Коэффициенты Ламэ:

$\displaystyle H_x = 1,\qquad H_y = 1,\qquad H_z=1.$

(207)

Репер декартовой системы координат ${\mathbf e}_1={\mathbf i}$ , ${\mathbf e}_2={\mathbf j}$ , ${\mathbf e}_3={\mathbf k}$ не зависит от положения точки и векторы ${\mathbf e}_i$ являются постоянными. Радиус-вектор любой точки

с координатами

имеет вид:

$\displaystyle {\mathbf r} = {\mathbf i}x + {\mathbf j}y + {\mathbf k}z.$

(208)

Согласно (205) и (207) элемент объема имеет вид

2. Полярная система координат является примером криволинейной системы. В этой системе (рис. 38):

Рис.38 К определению полярной системы координат

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} q_1=\rho & \mbox{модуль радиус-вектора}\\ q_2=\varphi & (\widehat{{{\mathbf r},{\mathbf i}}}).\\ \end{array}\right.$

Система (184), согласно рис. 38, имеет вид:

$\displaystyle \hspace{-0.3em} \left\{\begin{array}{l} x = \rho\cos\varphi \\ y ... ...t{x^2+y^2} \\ \varphi = \arctg\displaystyle{\frac{y}{x}}\ . \end{array} \right.$

(209)

Рис.39 Полярная система координат

Тогда, координатные поверхности (в данном случае координатные линии) - окружности $\rho=$ Const и прямые $\varphi=$ Const (рис. 39). Вычисляя коэффициенты Ламэ по формулам (201), получим:

$\begin{displaymath}\begin{array}{l} H_\rho = \sqrt{\left(\displaystyle{\frac{\pa... ...rt{\rho\sin^2\varphi + \rho\cos^2\varphi} = \rho,\\ \end{array}\end{displaymath}$

(210)

откуда $dS=\rho\ d\rho d\varphi$ . Согласно (202) векторы локального репера имеют вид:

$\begin{displaymath}\begin{array}{l} {\mathbf e}_\rho = {\mathbf i}\displaystyle{... ... -{\mathbf i}\sin\varphi + {\mathbf j}\cos\varphi\\ \end{array}\end{displaymath}$

(211)

и приведены на рис. 39. Используя (211), можно записать радиус-вектор произвольной точки на плоскости в полярной системе координат как

$\displaystyle {\mathbf r}={\mathbf i}x+{\mathbf j}y=\rho({\mathbf i}\cos\varphi + {\mathbf j}\sin\varphi)$

и, таким образом:

$\displaystyle {\mathbf r}=\rho\ {\mathbf e}_\rho.$

(212)

3. Цилиндрическая система координат представляет собой полярную систему, дополненную осью

декартовой системы и задается соотношениями:

$\displaystyle \hspace{-0.3em} \left\{\begin{array}{l} x = \rho\cos\varphi\\ [0.... ...phi = \arctg\displaystyle{\frac{y}{x}}\\ [0.5em] z = z\\ \end{array}\ . \right.$

(213)

Рис.40 Цилиндрическая система координат

Согласно (213), координатными поверхностями цилиндрической системы будут круговые цилиндры ( $\rho=$ Const), плоскости, параллельные ( $\varphi=$ Const) и перпендикулярные оси

(

Const) (рис. 40). Коэффициенты Ламэ для цилиндрической системы:

$\displaystyle H_\rho = 1,\quad H_\varphi = \rho,\quad H_z = 1,$

(214)

а элемент объема

$\displaystyle dV = \rho\ d\rho d\varphi dz.$

(215)

Векторы локального базиса имеют вид:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} {\mathbf e}_\rho = {\mathbf i}\cos\varphi... ...athbf j}\cos\varphi\\ [0.5em] {\mathbf e}_z = {\mathbf k}\\ \end{array} \right.$

(216)

и радиус-вектор в цидиндрической системе координат запишется в виде

$\displaystyle {\mathbf r}=\rho{\mathbf e}_\rho + {\mathbf k}z\ .$

(217)

4. Сферическая система координат определяется координатами

, $q_2=\theta$ , $q_3=\varphi$ , где

- модуль радиус-вектора ${\mathbf r}$ , $\theta$ и $\varphi$ - соответственно полярный и аксиальный углы (рис. 41), которые связаны с декартовыми координатами соотношениями:

Рис.41 Сферическая система координат

$\displaystyle \hspace{-9em} \left\{\begin{array}{l} x = r\sin\theta\cos\varphi\... ...em] y = r\sin\theta\sin\varphi\\ [0.5em] z = r\cos\theta.\\ \end{array} \right.$

(218)

Координатные поверхности - это концентрические сферы (

Const), конусы ( $\theta=$ Const

и плоскости, проходящие через ось

( $\varphi=$ Const). Пример сетки сферической системы координат дает система меридианов и параллелей на глобусе. Коэффициенты Ламэ:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} H_r = 1\\ [0.5em] H_\theta = r\\ [0.5em] H_\varphi = r\sin\theta.\\ \end{array} \right.$

(219)

Элемент объема $dV=r^2\sin\theta\ dr d\theta d\varphi$ . Локальный базис

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} {\mathbf e}_r = \phantom{-}{\mathbf i}\si... ...rphi=-{\mathbf i}\sin\varphi + {\mathbf j}\cos\varphi\ . \\ \end{array} \right.$

(220)

Используя (221), радиус-вектор в сферической системе координат можно записать в виде:

$\displaystyle {\mathbf r}=r\ {\mathbf e}_r.$

(221)

5. Эллиптическая система координат (на плоскости) определяется следующим образом. Рассмотрим на плоскости

точку

. На оси

выберем два центра с координатами

. Соединим эти центра с точкой

отрезками длиной

(рис. 42). Тогда эллиптическими координатами точки

называются числа $(\sigma, \tau)$ , определяемые как:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \sigma=\displaystyle{\frac{r_1+r_2}{2a}}\\ [0.5em] \tau =\displaystyle{\frac{r_1-r_2}{2a}}\\ \end{array} \right.$

(222)

Рис.42 К определению эллиптической системы координат

Переходя к декартовым координатам

можно получить уравнения связи:

$\begin{displaymath}\begin{array}{l} \displaystyle{\frac{x^2}{a^2(\sigma^2-1)}} +... ...2-1)}} - \displaystyle{\frac{y^2}{a^2\tau^2}} = 1\\ \end{array}\end{displaymath}$

(223)

Рис.43 Эллиптическая система координат

и, таким образом, координатная сетка представляет собой семейство эллипсов $(\sigma=$ Const

и гипербол $(\tau=$ Const

с общими фокусами в точках

(рис. 43). Пространственная эллиптическая система координат получается вращением (рис. 43) вокруг оси

. В этом случае координатные поверхности будут софокусными эллипсоидами и гиперболоидами вращения, а также плоскостями, проходящими через ось


			Содержание