Уравнение векторных линий

Ранее было показано, что согласно определению векторной линии поля ${\mathbf A}({\mathbf r})$ , ее уравнение в бескоординатной форме имеет вид: $d{\mathbf r}=\lambda{\mathbf A}({\mathbf r})$ . Учитывая, что в криволинейной системе ${\mathbf A}={\mathbf e}_1A_1+{\mathbf e}_2A_2+{\mathbf e}_3A_3$ , а дифференциал вектора определяется выражением (204), получим:

$\displaystyle \displaystyle{\frac{H_1 dq_1}{A_1}} = \displaystyle{\frac{H_2 dq_2}{A_2}} = \displaystyle{\frac{H_3 dq_3}{A_3}}.$

(224)

Выражение (224) называется уравнением векторных линий поля ${\mathbf A}$ в криволинейной ортогональной системе координат.

В качестве иллюстрации рассмотрим плоское поле ${\mathbf E}({\mathbf r})$

$\displaystyle {\mathbf E}({\mathbf r})=\displaystyle{\frac{{\mathbf p}}{r^2}} -... ...\mathbf p},{\mathbf r}){\mathbf r}}{r^4}}\qquad\qquad {\mathbf p}={\mathbf j}p=$ Const

в полярной системе координат. Учитывая, что $({\mathbf p},{\mathbf r})=pr\sin\varphi$ , а ${\mathbf j}={\mathbf e}_\rho\sin\varphi+{\mathbf e}_\varphi\cos\varphi$ , получим

$\displaystyle {\mathbf E}({\mathbf r}) = -\displaystyle{\frac{p\sin\varphi}{\rh... ...\mathbf e}_\varphi = {\mathbf e}_\rho E_\rho + {\mathbf e}_\varphi E_\varphi.$

Тогда уравнение (224) принимает вид:

$\displaystyle -\displaystyle{\frac{\rho^2d\rho}{\sin\varphi}} = \displaystyle{\frac{\rho^3d\varphi}{\cos\varphi}}$ или $\displaystyle \qquad \displaystyle{\frac{d\rho}{\rho}} = -\displaystyle{\frac{\sin\varphi d\varphi}{\cos\varphi}}.$

Окончательно уравнение векторных линий поля ${\mathbf E}({\mathbf r})$ принимает вид:

$\displaystyle \rho = C\cos\varphi,$

которое определяет в плоскости

семейство окружностей радиуса

с общей точкой в начале координат. Отметим, что в отличие от декартовой системы координат, в данном случае, при использовании полярной, дифференциальное уравнение векторных линий интегрируется элементарно.


			Содержание