4. Векторный анализ в криволинейных координатах
4.6. Градиент, дивергенция, ротор в криволинейных ортогональных системах координат ![Задачи для самостоятельной работы](ARROWS/right_small.gif)
Ранее были даны бескоординатные, общие определения основных дифференциальных операций:
градиент, дивергения, ротор, а также на этой основе получены формулы (
79),
(
90), (
106), определяющие способ их вычисления в декартовой системе
координат. Однако, общее определение позволяет получить выражения для
![$ {\rm grad}\,\varphi$](img985.png)
,
![$ {\rm div}\,{\mathbf A}$](img567.png)
и
![$ {\rm rot}\,{\mathbf A}$](img641.png)
в произвольной системе координат.
1.
Градиент скалярного поля. Пусть дано скалярное поле
![$ \varphi({\mathbf r})$](img415.png)
. Согласно
(
75),
![$ {\rm grad}\,\varphi$](img985.png)
определяется как предел:
![$\displaystyle {\rm grad}\,\varphi = \lim_{V\to 0}\displaystyle{\frac{1}{V}}\displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}}\varphi{\mathbf n}\ dS\ .$](img986.png) |
(225) |
Рис.44 У вычислению интегралов вида (
225)
Пусть также в области определения поля
![$ \varphi({\mathbf r})$](img415.png)
задана криволинейная ортогональная
система координат. Рассмотрим в качестве поверхности в (
225) бесконечно малый
параллелепипед объема
![$ V=H_1H_2H_3\Delta q_1\Delta q_2\Delta q_3$](img988.png)
(рис.
44) (его
гранями будут координатные поверхности). Тогда, в силу малости этого параллелепипеда, нормаль
к каждой грани будет совпадать с соответствующим вектором репера:
![$ {\mathbf n}_{ABCD}={\mathbf e}_3$](img989.png)
и т. д. Учитывая, что, например, на грани
![$ dS=H_1H_2dq_1dq_2$](img990.png)
и аналогично на остальных,
получим:
![\begin{displaymath}\begin{array}{ll} \displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}}\varphi...
...space{-1em}\varphi{\mathbf e}_2H_1H_3dq_1dq_3\ . \\ \end{array}\end{displaymath}](img991.png) |
(226) |
Знак "минус" в последних трех слагемых появляется так как нормаль должна быть направлена
во внешнюю область замкнутой поверхности.
![\begin{displaymath}\begin{array}{ll} \displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}}\varphi...
...al q_3}} ( \varphi{\mathbf e}_3H_1H_2 )dq_1dq_2. \\ \end{array}\end{displaymath}](img992.png) |
(227) |
Применяя теорему о среднем к (
227), переходим к пределу в (
225):
![\begin{displaymath}\begin{array}{l} {\rm grad}\,\varphi = \displaystyle{\frac{1}...
...{\partial q_3}}(\varphi{\mathbf e}_3H_1H_2) \biggr] \end{array}\end{displaymath}](img993.png) |
(228) |
![\begin{displaymath}\begin{array}{l} {\rm grad}\,\varphi = \biggl[{\mathbf e}_1\d...
...tial }{\partial q_3}}({\mathbf e}_3H_1H_2) \biggr]. \end{array}\end{displaymath}](img994.png) |
(229) |
Так как
![$ {\mathbf e}_3=[{\mathbf e}_1,{\mathbf e}_2]$](img995.png)
,
![$ {\mathbf e}_1=[{\mathbf e}_2,{\mathbf e}_3]$](img996.png)
,
![$ {\mathbf e}_2=[{\mathbf e}_3,{\mathbf e}_1]$](img997.png)
и
![$ {\mathbf e}_iH_i=\displaystyle{\frac{\partial {\mathbf r}}{\partial q_i}}$](img998.png)
, то второе слагаемое в
(
229) преобразуется к виду:
и обращается в ноль по свойству смешанных производных. Таким образом, формула для вычисления
градиента скалярной функции в криволинейной ортогональной системе координат принимает вид:
![$\displaystyle {\rm grad}\,\varphi = \biggl[{\mathbf e}_1\displaystyle{\frac{1}{...
...e{\frac{1}{H_3}}\displaystyle{\frac{\partial \varphi}{\partial q_3}} \biggr]\ .$](img1000.png) |
(230) |
2.
Дивергенция векторного поля. Получим выражение для
![$ {\rm div}\,{\mathbf A}$](img567.png)
, используя общее
определение дивергенции, как предела:
![$\displaystyle {\rm div}\,{\mathbf A}=\lim_{V\to 0}\displaystyle{\frac{1}{V}}\displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}}({\mathbf A},{\mathbf n}) dS.$](img1001.png) |
(231) |
Как и в первом случае, пусть объем
![$ V$](img505.png)
ограничен бесконечно малым параллелепипедом
(рис.
44). Вычислим поток в (
231):
![\begin{displaymath}\begin{array}{ll} \displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}}({\math...
...0em}({\mathbf A},{\mathbf e}_3)H_1H_2dq_1dq_2\ . \\ \end{array}\end{displaymath}](img1002.png) |
(232) |
Учитывая, что в ортогональной системе координат
![$ ({\mathbf A},{\mathbf e}_i)=A_i$](img1003.png)
, получим
![\begin{displaymath}\begin{array}{ll} \displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}}({\math...
...{\partial }{\partial q_3}}(A_3H_1H_2)dq_1dq_2\ . \\ \end{array}\end{displaymath}](img1004.png) |
(233) |
Применяя теорему о среднем и переходя к пределу (
231), получим:
div![$\displaystyle {\mathbf A}=\displaystyle{\frac{1}{H_1H_2H_3}} \biggl[ \displayst...
...artial q_2}} + \displaystyle{\frac{\partial (H_1H_2A_3)}{\partial q_3}} \biggr]$](img1005.png) |
(234) |
3.
Ротор векторного поля. Согласно определению (
103), проекция вектора
![$ {\rm rot}\,{\mathbf A}$](img641.png)
на произвольный вектор
![$ {\mathbf n}$](img323.png)
равна:
![$\displaystyle ({\rm rot}\,{\mathbf A},{\mathbf n}) = \lim_{S\to 0}\displaystyle{\frac{1}{S}}\displaystyle{\oint\limits_{L}}({\mathbf A},d{\mathbf l}).$](img1006.png) |
(235) |
Если в качестве
![$ {\mathbf n}$](img323.png)
выбрать векторы репера
![$ {\mathbf e}_i$](img911.png)
, то величины
![$ ({\rm rot}\,{\mathbf A},{\mathbf e}_i)$](img1007.png)
будут координатами вектора
![$ {\rm rot}\,{\mathbf A}$](img641.png)
в системе координат, задаваемой тройкой
![$ ({\mathbf e}_1,{\mathbf e}_2,{\mathbf e}_3)$](img134.png)
, т. е.
![$ ({\rm rot}\,{\mathbf A})_i$](img1008.png)
. Найдем
![$ ({\rm rot}\,{\mathbf A},{\mathbf e}_3)$](img1009.png)
. Для
этого вычислим циркуляцию поля
![$ {\mathbf A}$](img206.png)
по контуру
![$ ABCDA$](img1010.png)
(рис.
44). Тогда
![\begin{displaymath}\begin{array}{ll} \displaystyle{\oint\limits_{(ABCDA)}}\hspac...
...laystyle{\int\limits_{(DA)}}(A_1H_1)dq_1\ .\\ [1em] \end{array}\end{displaymath}](img1011.png) |
(236) |
Учитывая, что на линии
![$ q_1=q_1+\Delta q_1$](img1013.png)
,
![$ q_2=q_2+\Delta q_2$](img1015.png)
, вместе с теоремой
о среднем для каждого участка контура, получим:
![$\displaystyle \displaystyle{\oint\limits_{(ABCDA)}}\hspace{-1.0em}({\mathbf A},...
... q_1}}(A_2H_2) - \displaystyle{\frac{\partial }{\partial q_2}}(A_1H_1) \right].$](img1016.png) |
(237) |
Аналогичные вычисления можно проделать для векторов
![$ {\mathbf e}_2$](img128.png)
,
![$ {\mathbf e}_3$](img129.png)
и тогда из
(
235) следует:
![\begin{displaymath}\begin{array}{c} ({\rm rot}\,{\mathbf A})_3 = \displaystyle{\...
...partial }{\partial q_2}}(A_1H_1) \right]\ .\\ [1em] \end{array}\end{displaymath}](img1018.png) |
(238) |
Так как
![$ {\rm rot}\,{\mathbf A}={\mathbf e}_1({\rm rot}\,{\mathbf A})_1 + {\mathbf e}_2({\rm rot}\,{\mathbf A})_2 + {\mathbf e}_3({\rm rot}\,{\mathbf A})_3$](img1019.png)
,
то (
238) можно переписать следующим образом:
![$\displaystyle {\rm rot}\,{\mathbf A} = \displaystyle{\frac{1}{H_1H_2H_3}} \left...
...{\partial q_3}} \\ [2em] A_1H_1 & A_2H_2 & A_3H_3 \\ \end{array} \right\vert\ .$](img1020.png) |
(239) |
4.
Оператор Лапласа определяется как
![$ \Delta\phi={\rm div}\,{\rm grad}\,\phi$](img1021.png)
. Тогда, используя
выражения (
230) и (
234), получим:
![$\displaystyle \Delta\phi=\displaystyle{\frac{1}{H_1H_2H_3}} \left[ \displaystyl...
...H_1H_2}{H_3}}\displaystyle{\frac{\partial \phi}{\partial q_1}} \right) \right].$](img1022.png) |
(240) |
С использованием общих выражений для
![$ {\rm grad}\,\phi$](img695.png)
,
![$ {\rm div}\,{\mathbf A}$](img567.png)
,
![$ {\rm rot}\,{\mathbf A}$](img641.png)
и
![$ \Delta\phi$](img759.png)
можно
получить следующие формулы для вычисления в:
-
цилиндрической системе координат
![$ (\rho,\varphi,z)$](img1023.png)
:
![$\displaystyle {\normalsize \begin{array}{ll} {\rm grad}\,\phi = & {\mathbf e}_\...
...varphi^2}} + \displaystyle{\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}}; \end{array} }$](img1024.png) |
(241) |
-
сферической системе координат
![$ (r,\theta\varphi)$](img1025.png)
:
![$\displaystyle {\normalsize \begin{array}{ll} \Delta\phi = & \displaystyle{\frac...
...eta}}\displaystyle{\frac{\partial^2 \phi}{\partial \varphi^2}}\ . \end{array} }$](img1027.png) |
(242) |
Пример 4-1. Вычислить
![$ {\rm grad}\,r$](img1028.png)
,
![$ {\rm div}\,{\mathbf r}$](img1029.png)
и
![$ {\rm rot}\,{\mathbf r}$](img1030.png)
в сферической системе координат.
Решение. Радиус-вектор в сферической системе координат имеет вид
![$ {\mathbf r}={\mathbf e}_r r$](img1031.png)
,
![$ r=\vert{\mathbf r}\vert$](img544.png)
и
тогда
Пример 4-2. Вычислить
![$ \nabla({\mathbf a},{\mathbf r})$](img1035.png)
,
![$ {\mathbf a}=$](img1036.png)
Const.
Решение. Направим ось
![$ z$](img379.png)
вдоль вектора
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
. Тогда в сферической системе координат
В цилиндрической системе координат
Как видно, цилиндрическая система координат в данном случае "выгоднее" сферической, что
определяется свойством дифференцируемой функции, которая имеет цилиндрическую симметрию за счет выделенного направления, заданного вектором
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
.