Тема 4.
Основы теории вероятностей и математической статистики
Тема 4.
Основы теории вероятностей и математической статистики
Случайной называют величину, которая в результате испытания
примет случайно одно и только одно значение из множества возможных значений.
Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает
отдельные возможные значения с определенными вероятностями.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из
некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Пример 1. Случайной величиной является число очков, выпавших
при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента. В первом
случае мы имеем дело с дискретной случайной величиной (она принимает значения из дискретного
числового множества M={1, 2, 3, 4, 5, 6}; во втором случае - с непрерывной случайной величиной
(она принимает значения из непрерывного числового множества - из промежутка числовой прямой
I=[100, 3000]).
Законом распределения случайной величины называется соотношение,
устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им
вероятностями (его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.
При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины
первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности (Табл.1).
Таблица 1
3. Случайные величины
|
Х |
х1 |
х2 |
... |
хn |
|
p |
p1 |
p2 |
... |
pn |
Сумма вероятностей второй строки таблицы 1, равна единице:
p1 + p2 + ...+ pn = 1.
Числовые характеристики дискретной случайной величины
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Если дискретная случайная величина принимает только значения x1, x2, ..., xn, вероятности которых соответственно равны p1, p2, ..., pn . Тогда математическим ожидание определяется равенством:
|
M (X) = x1p1 + x2p2 + ...+ xnpn. |
(3.1) |
Пример 1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины,
зная закон ее распределения:
|
Х |
5 |
4 |
3 |
|
p |
0,2 |
0,5 |
0,3 |
Решение. По формуле (3.1) находим математическое ожидание:
M (X) = 5*0,2 + 4*0,5 + 3*0,3 = 3,3.
Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то
|
|
(3.2) |
На практике часто приходится оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения.
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
|
D (X) = M [X - M (X)]2. |
(3.3) |
Пример 2. Найти дисперсию случайной величины X,
которая задана следующим законом распределения:
|
Х |
1 |
2 |
5 |
|
p |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
Решение. По формуле (3.1) находим математическое ожидание:
M (X) = 1*0,3 + 2*0,5 + 5*0,2 = 2,3.
Используя формулу (3.3) записываем все возможные значения квадрата отклонения:
[X1 - M (X)]2 = (1 - 2,3)2 = 1,69;
[X2 - M (X)]2 = (2 - 2,3)2 = 0,09;
[X3 - M (X)]2 = (5 - 2,3)2 = 7,29.
Тогда закон распределения квадрата отклонения имеет следующий вид:
|
[X - M (X)]2 |
1,69 |
0,09 |
7,29 |
|
p |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
По формуле (3.3) находим дисперсию:
D (X) = 1,69*0,3 + 0,09*0,5 + 7,29*0,2 = 2,01.
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:
|
D (X) = M (X2) - [M (X)]2 |
(3.4) |
Пример 3. Найти дисперсию случайной величины X,
которая задана следующим законом распределения:
|
Х |
2 |
3 |
5 |
|
p |
0,1 |
0,6 |
0,3 |
Решение. По формуле (3.1) находим математическое ожидание:
M (X) = 2*0,1 + 3*0,6 + 5*0,3 = 3,5.
Закон распределения случайной величины X2:
|
Х2 |
4 |
9 |
25 |
|
p |
0,1 |
0,6 |
0,3 |
Математическое ожидание М(Х2):
M (X) = 4*0,1 + 9*0,6 + 25*0,3 = 13,3.
По формуле (3.4) находим дисперсию:
D (X) = 13,3 - (3,5)2 = 1,05.
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии:
|
|
(3.5) |
