5. Основы тензорного анализа
Согласно общему определению, для случая
![$ n=2$](img1096.png)
можно получить частное определение:
тензором 2-го ранга называется совокупность
величин
, которые
преобразуются по закону
![$\displaystyle T'_{ik} = \alpha_{im}\alpha_{kn}T_{kn}\ .$](img1099.png) |
(264) |
Рассмотренный выше тензор инерции, согласно закону преобразования (
257) и
определению (
264), является тензором 2-го ранга. Другим примером тензора второго
ранга является
![$ \delta $](img1.png)
-символ Кронекера. Действительно, компоненты
![$ \delta $](img1.png)
-символа можно
получить как скалярное произведение ортов прямоугольной системы:
![$\displaystyle \delta_{mk}=({\mathbf e}_m,{\mathbf e}_k)$](img1100.png) |
(265) |
![$\displaystyle \delta'_{mk}=({\mathbf e}'_m,{\mathbf e}'_k).$](img1101.png) |
(266) |
Используя закон преобразования ортов (
37), а также (
265) и (
266),
получим
![$\displaystyle \delta'_{mk}=\alpha_{mn}\alpha_{kl}({\mathbf e}_n,{\mathbf e}_l) = \alpha_{mn}\alpha_{kl}\delta_{nl}\ ,$](img1102.png) |
(267) |
откуда видно, что
![$ \delta $](img1.png)
-символ преобразуется как тензор 2-го ранга. Продолжая вычисления
в (
267),
![$\displaystyle \delta'_{mk} = \alpha_{mn}\alpha_{kn} = \delta_{mk}\ .$](img1103.png) |
(268) |
Таким образом, преобразуясь как тензор 2-го ранга, дельта-символ, в то же время, не меняет
своего вида. Такие тензоры называются инвариантными.
И наконец, тензор 2-го ранга можно получить как прямое произведение двух векторов, тензоров
1-го ранга. Действительно, пусть
![$ A_i$](img1091.png)
и
![$ B_k$](img1104.png)
- компоненты векторов
![$ {\mathbf A}$](img206.png)
и
![$ {\mathbf B}$](img210.png)
. Тогда,
составляя
![$ 3^2$](img1105.png)
величин
![$ T_{ik}=A_iB_k$](img1106.png)
, легко показать, что они преобразуются по закону
![$\displaystyle T'_{ik} = A'_i B'_k = \alpha_{im} A_m \alpha_{kn}B_n = \alpha_{im}\alpha_{kn} A_m B_n = \alpha_{im}\alpha_{kn} T_{mn},$](img1107.png) |
(269) |
который соответствует определению тензора 2-го ранга (
264).